1. Բնականթվեր: Հատկություններ և գործողություններ
Տեսականմաս
Բնականթվերնառաջացելենառարկաներըհաշվելուպահանջից:
Հաշվելիս՝ մենքթվերինքայլառքայլ 1 ենքգումարում՝ արդյունքումստանումենք՝ 1; 2; 3; 4; 5; 6; … թվերիցորևէմեկը:
Հաշվելուարդյունքումառաջացած 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12… թվերըկոչվումենբնականթվեր, ( 0 -ն բնականթիվչէ):
Ամենափոքրբնականթիվը 1- ն է, ամենամեծբնականթիվչկա:
Բնականթվերըհաշվելիեն և անվերջ:
Հատկություններ
Ցանկացածերկուբնականթվերկարելի է համեմատել, այսինքն՝ պարզել, թեորթիվն է մեծ:
Թվերիհամեմատմանժամանակօգտագործվումենհատուկնշաններ՝ համեմատմաննշաններ: «Մեծ» բառըփոխարինվումէ > նշանով, իսկ «փոքր» բառը՝ < նշանով: Թվերիհամեմատմաննշան է նաևհավասարության՝ =, նշանը:
Երկուբնականթվերիցմեծ է այնթիվը, որըհաշվելիսավելիուշ է հանդիպում: Եթեթվերըմեծչեն, մենքուղղակիհիշումենքնրանցհաջորդականությունը:
Օրինակ
Ակնհայտ է, որութըմեծ է երեքից՝ 8>3 , կամոր 73<120
Մեծթվերիհամարօգտագործվում է հետևյալկանոնը.
1) Եթեերկուբնականթվերիգրառումներումտարբերքանակներովկարգեր (թվանշաններ) կան, ապաավելիմեծ է այնթիվը, որիկարգերիքանակնավելիմեծ է:
2) Եթեթվերիթվանշաններիքանակներընույննեն, ապաավելիմեծ է այնթիվը, որիամենամեծկարգումգրվածթիվնավելիմեծ է: Եթեայդկարգիթվերըհավասարեն, ապահամեմատվումենհաջորդկարգերը և այդպեսշարունակ՝ մինչևմիավորիկարգը:
Օրինակ
ա. Համեմատենք 60981 և 725 թվերը:
Առաջինթվիգրառմանմեջկա 5 կարգ, իսկերկրորդիգրառմանմեջ՝ 3 կարգ: Ըստկանոնի, առաջինթիվըմեծ է, քանիորնրակարգերնավելիշատեն:
բ. Համեմատենք 496 և 596 թվերը:
Երկութվերնէլունեներեքականկարգ, ուրեմն՝ պետք է համեմատելամենամեծկարգիթվերը: Քանիոր 4 -ը փոքր է 5 -ից, ապաառաջինթիվըփոքր է երկրորդթվից:
գ. Համեմատենք 9563 և 9566 թվերը:
Երկութվերնէլունենչորսականկարգ, ուրեմն՝ պետք է համեմատելամենամեծկարգիթվերը: Տեսնումենք, որերկութվերումէլդա 9 -ն է: Համընկնումեննաևհաջորդերկուկարգերիթվերը: Քանիորվերջինկարգումառաջինթվում 3 է, իսկերկրորդում 6 , ապաերկրորդթիվնավելիմեծ է:
Թիվ: Թվանշան
Թվանշաններըտասնեն՝ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9:
Թվանշաններիմիջոցովկազմվումենթվեր:
Օրինակ, 1 և 7 թվանշաններիմիջոցովկարողենքկազմելթվեր, ինչպեսօրինակ՝
17; 71; 177; 717; 771; 1117; 1171; …; 11111177777; …
Եթեթվերըկազմվածենմեկթվանշանից, ապադրանցանվանումենքմիանիշթվեր, եթեերկութվանշանից՝ երկնիշ, եթեերեքից՝ եռանիշ, չորսից՝ քառանիշ և այն:
Մեկթիվը՝ 1
Արդենգիտենք, որբնականթվերնառաջացելենհաշվելու և համարակալելուպահանջիարդյունքում:
Ամենափոքրբնականթիվը 1-ն է, որըցանկացածառանձինվերցվածառարկայինշանակումն է:
Օրինակ
ա. Միավորկարելի է համարելմեկծաղիկը, եթեհաշվումենքծաղկեփնջումեղածծաղիկներիքանակը:
բ. Մեկձին, եթեհաշվումենքերամակումձիերիքանակը
գ. Մեկխնձորը, եթեհաշվումենքծառիվրաեղածխնձորներիքանակը:
Իսկեթեհաշվումենքխնձորիենիներիքանակըայգում, ապամիավորըկլինիմեկխնձորենին /խնձորիծառը/:
Մեկթվիհատկությունները
- Մեկնամենափոքրբնականթիվն է: Այն՝ 1-ը փոքր է բոլորբնականթվերից:
- Ցանկացածթվիհաջորդթիվըստանումենք նրան 1 գումարելով, իսկ 1 հանելիսնախորդթիվնենքստանում:
- Ցանկացած /կամայական/ թիվ 1-ով բազմապատկելիսչիփոփոխվում: Թիվը 1-ի բաժանելիսնույնպեսմնում է անփոփոխ:
Օրինակ՝ 5×1=5; 5:1=5:
Զրոթիվը՝ 0
Զրոնառարկաներիբացակայությանարտահայտությունն է:
Օրինակ՝
«Դասարանումաշակերտներիթիվըհավասար է զրոյի» արտահայտությունընշանակում է, որդասարանումաշակերտչկա:
Զրոնբնականթիվչէ:
Հատկությունները.
- Զրոնփոքր է ցանկացածբնականթվից:
- Ցանկացածթվիզրոգումարելիսթիվըմնում է անփոփոխ: Թվիցզրոհանելիսևսչիփոփոխվում: (5+0=5; 5-0=5 )
- Զրոնցանկացածթվովբազմապատկելիս ստանումենքզրո: (5×0 =0; 0x5 =0)
- Զրոնցանկացածթվիբաժանելիս ստանումենքզրո: ( 0:5 =0)
- Թիվըզրոյիչիկարելիբաժանել:
Առաջադրանքներ
- Աստղանիշըթվովփոխարինելով՝ ստացիրճիշտհավասարություն:
ա) * +67=88/
*=88-67=21
բ) * 14 = 518;
* =518:14=37
գ) 451- * = 182;
* =541-182=359
դ) 798 : * = 42
*=798:42=19
:
- Քանի՞ թվանշան է պետք 1-ից մինչև 30-ը գրելուհամար:
42թվանշան
- Գործողություններըչկատարելով՝ համեմատեքարտահայտությանարժեքները.
ա) 98765+479 > 98765 + 478;
բ) 98765 -478 < 98765 — 479;
գ) 12345 x 987 > 12345 x 986;
դ) 989799:31 < 989799:29:
- Համեմատի՛ր
ա) Արագածլեռան և Մասիսիբարձրությունները;
4090>5137
բ) Լույսի և ձայնիարագությունները;
299792458>340
գ) Մարսմոլորակի և Լուսնիհեռավորությունըերկրից;
55760000>384400
դ) Միլիարդ և Գուգլթվերը;
Միլիարդ< Գուգլ
ե) Ագռավ և բութռչուններիկյանքիտևողությունը;
Ագռավ >բու
զ) Հայաստանումծիրանի և բանանիծառերիքանակը:
ծիրան>բանան
- Աստղանիշըթվովփոխարինելով՝ ստացիրճիշտհավասարություն:
ա) 73+ *=99;
*= 99-73=36
բ) 57 * = 969;
*=969:57=17
գ) *- 176 = 176;
*=176+176=352
դ) * : 35 = 137
*=137×35=4795
ե) (18+14)+30=62;
*=62-30-18=14
զ) 13x (10+*)=221:
*=221:13-10=7
- Գործողություններըչկատարելով՝ համեմատիրարտահայտությանարժեքները.
ա) 56789+289 < 56789+299;
բ) 56789-299 < 56789-289;
գ) 12346x 987 > 12345×986;
դ) 899868:31 < 899899:29:
- Քանի՞ թվանշան է պետք 1-ից մինչև 450-ը գրելուհամար:
1242 թվանշան
Լրացուցիչառաջադրանքներ
- Քանի՞ թվանշան է գրվումփողոցի 165 տները՝ համարակալելիս:
387 թվանշան
- Գտի՛րամենափոքրբնականթիվը, որիթվանշաններիարտադրյալըհավասար է.
ա) 21; 37
բ) 216 2269
գ) 42; 67
դ)36: 49
- 6 ձկնորսը 6 օրումկերան 6 ձուկ: Քանի՞ օրում 10 ձկնորսըկուտեն 10 ձուկ:
10 օրում
2. Բնականթվերիգումար: Տարբերություն: Արտադրյալ: Քանորդ
- Գտի՛րանհայտ
ա. գումարելին, եթեգումարելիներիցմեկը 43 է, իսկգումարը՝ 83;
*+43=83
*=83-43=40
բ. հանելին, եթենվազելին 53 է, տարբերությունը՝ 42;
53-*=42
*=53-42=11
գ. նվազելին, եթետարբերությունը 15 է, իսկհանելին՝ 14;
*-14=15
*=14+15=29
դ. արտադրիչը, եթեհայտնիարտադրիչը 8 է, արտադրյալը՝ 56;
*x8=56
*=56:8=7
ե. բաժանարարը, եթեբաժանելին 35 է, քանորդը՝ 7;
35:*=7
*=35:7=5
զ. բաժանելին, եթեբաժանարարը 5 է,իսկքանորդը՝ 10:
*:5=10, *=10*5=50
- Ինչպե՞սկփոխվիգումարը, եթե
ա. գումարելիներիցմեկըմեծացնենք 6-ով;
Կմեծանա 6-ով
բ. գումարելիներիցմեկըմեացնենք 7-ով, մյուսը՝ 4-ով;
Կմեծանա 11-ով
գ. գումարելիներիցմեկըմեծացնենք 7- ով, մյուսըփոքրացնենք 4-ով:
Կմեծանա 3-ով
- Ինչպեսկփոխվիտարբերությունը, եթե
ա. նվազելին և հանելինմեծացնենք 6-ով;
Չի փոխվի
բ. նվազելին մեծացնենք 5-ով, հանելին՝ 3-ով;
Կմեծանա 2-ով
գ. նվազելին մեծացնենք 5-ով, հանելին փոքրացնենք 2-ով:
Կմեծանա 7-ով
- Հաշվի՛ր.
ա. 841+478+159=1478
բ. 583+269+331=1183
գ. 967+289-467=789
դ. 257×114 =29298
- Ինչպես կփոխվի տարբերությունը, եթե
ա. նվազելին փոքրացնենք 2-ով, հանելին՝ 3-ով;
Կմեծանա 1-ով
բ. նվազելին փոքրացնենք 4-ով, հանելին մեծացնենք 1-ով; Կփոքրանա 5-ով
գ. նվազելին և հանելին մեծացնենք նույն չափով:
չի փոխվի
- Ինչպե՞ս կփոխվի գումարը, եթե
ա. գումարելիներից մեկը փոքրացնենք 5-ով;
Կփոքրանա 5-ով
բ. գումարելիներիցմեկըփոքրացնենք 5-ով, մյուսը՝ 3-ով;
Կփոքրանա 8-ով
գ. գումարելիներիցմեկըմեծացնենք, և նույնքանովէլփոքրացնենքմյուսը:
չի փոխվի
- Ինչպեսկփոխվիարտադրյալը, եթե՝
ա. արտադրիչերիցմեկըմեծացնենք3 անգամ,
Կմեծանա 3 անգամ
բ. արտադրիչերիցմեկըմեծացնենք3 անգամ, մյուսը՝ 2 անգամ,
Կմեծանա 6 անգամ
գ. արտադրիչերիցմեկըմեծացնենք 2 անգամ, մյուսըփոքրացնենք 2 անգամ,
չի փոխվի
դ. արտադրիչերիցմեկըփոքրացնենք 3 անգամ,
Կփոքրանա 3 անգամ
ե. արտադրիչերիցյուրաքանչյուրըփոքրացնենք 3անգամ,
Կփոքրանա 9 անգամ
զ. արտադրիչերիցմեկըմեծացնենք, մյուսընույնչափովփոքրացնենք:
չի փոխվի
- Ինչպեսկփոխվիքանորդը, եթե՝
ա. բաժանելին մեծացնենք 3 անգամ,
Կմեծանա 3 անգամ
բ. բաժանելին և բաժանարարըմեծացնենք 2անգամ,
չի փոխվի
գ. բաժանելինմեծացնենք 3 անգամ, մյուսը` փոքրացնենք 2 անգամ,
դ. բաժանելին և բաժանարարըփոքրացնենք 3 անգամ,
չի փոխվի
ե. բաժանարարըյուրաքանչյուրըփոքրացնենք 2անգամ,
զ. բաժանելին և բաժանարարըմեծացնենքնույնքանանգամ:
չի փոխվի
Լրացուցիչառաջադրանքներ
- Միերկրումկանմիայն 7, 8 և 9 թվանշանները: Քանի՞ եռանիշթիվկաայդերկրում:
Պատ 27:
- Գտիր 20 հայտարարովկոտորակ, որըմեծլինի 4/13-ից և փոքրլինի 5/13-ից:
7/20
3. Մնացորդովբաժանում
Տեսականմաս
Բնականթիվըայլբնականթվիվրաբաժանելիսհաճախկարող է արդյունքումստացվելոչբնականթիվ: Օրինակ` եթե 14-ը բաժանենք 4-ի, ապաքանորդումկստանանք 3 (14-ի մեջկա 3 հատ 4 թիվը` 3⋅4=12), իսկմնացորդում 2`
14:4=3 (մնացորդում` 2):
Այսպիսիդեպքերումասումեն, որբաժանումըկատարված է մնացորդով:
Բերվածօրինակում՝
14-ը կոչվում է բաժանելի,
4-ը կոչվում է բաժանարար,
3-ը կոչվում է թերիքանորդ,
2-ը կոչվում է մնացորդ:
Կատարենքստուգում՝ 14=3⋅4+2:
Մնացորդովբաժանմանընդհանրացվածբանաձևըկլինի՝ a=b⋅с+r, որտեղ a-ն բաժանելին է, b-ն՝ բաժանարարը, с-ն՝ թերիքանորդը, r-ը՝ մնացորդը:
Իրարհաջորդողթվերըբաժանենք 5-ի և ուշադրությամբհետևենքմնացորդիփոփոխությանը`
135:5=27 (0 մնացորդ)
136:5=27 (1 մնացորդ
134:5=26 (4 մնացորդ)
133:5=26 (3 մնացորդ)
132:5=26 (2 մնացորդ) և այլն:
Նկատումենք, որ 5-ի բաժանելիսմնացորդումմնումենմիայն 0; 1; 2; 3; 4 թվերը, այսինքն՝ այնթվերը, որոնքփոքրեն 5-ից (ստուգիրմյուսթվերիդեպքում):
Առաջադրանքներ
- Տրվածթիվըբաժանումեն 7-ի, որիարդյունքումբնականթիվչենստանում: Գտիր, թե 7-ի բաժանելիսի՞նչթվերկարողենմնալմնացորդում:
1,2,3,4,5,6
- Գտիրբաժանելին, եթեբաժանարարըհավասար է 12-ի, թերիքանորդը՝ 8-ի, իսկմնացորդը՝ 5-ի:
12*8+5=101
- Ավտոբուսնունի 36 նստատեղ: Քանի՞ ավտոբուս է պետք 370 մարդտեղափոխելուհամար:
11 ավտոբուս
- Արդյո՞քգոյությունունիթիվ, որը 30-ի բաժանելիս, մնացորդումտալիս է 31:
ոչ
- Գրիր 32:4 բաժանմանտարրերը` բաժանելի, բաժանարար, քանորդ, մնացորդ:
Բաժանելի 32
Բաժանարար 4,
Քանորդ8,
Մնացորդ 0:
- Հաշվիր.
ա. 168:18=9(6 մն.)
բ. 100:14=7(2 մն.)
գ. 285:40=7(5 մն.)
դ. 374:24=15(14 մն.)
- Վաճառողըկշռումէրհաճախորդիգնածապրանքը: Նակշեռքինժարինդրեց 10 հատ 160 գրամանոցկշռաքար, սակայնկշեռքըչհավասարակշռվեց: Ապանադրեցևսմեկ 20 գրամանոցկշռաքար և կշեռքըհավասարակշռվեց:Որքա՞նէրապրանքիկշիռը:
1կգ 620գ
Լրացուցիչառաջադրանքներ
- Օգտվելովգործողություններինշաններից և փակագծերից`
ա. երեքհատ 5 թվանշանիցստացիր 2; 4; 5; 6; 15; 30; 50; 60;
(5+5):5=2
5-5:5=4
5+5:5=6
5+5+5=15
5*5+5=30
(5+5)*5=50
55+5=60
բ. չորսհատ 3 թվանշանիցստացիր 1; 3; 5; 8; 27; 102;
3:3+3-3=1
3+3-3:3=5
33:3-3=8
33-3-3=27
33*3+3=102
գ. չորսհատ 4 թվանշանիցստացիր 1-ից 10 թվերը:
(4-4)+4:4=1
4:4+4:4=2
(4*4-4):4=3
(4-4)*4+4=4
(4*4+4):4=5
(4+4):4+4=6
44:4-4=7
4*4-4-4=8
4:4+4+4=9
(44-4):4=10
- Գտիրգումարը
ա. ամենամեծերկնիշ և ամենափոքրքառանիշթվերի;
99+1000=1099
բ. ամենափոքր և ամենամեծեռանիշթվերի:
100+999=1099
- Հաշվիրհարմարեղանակով.
ա. 497+228=497+(3+225)=(497+3)+225=725
բ. 78⋅(100-1)=78×100-78×1=7800-78=7722
գ. 8750:5:2=8750:(5×2)=8750:10=875
դ. 96⋅99=96x(100-1)=96×100-96×1=9504
ե. 725 — 96=725-100+4=625+4=629
Առաքելյան Նարեկ 